Matemática discreta Ejemplos

$2 x - 6 y = 7$ , $5 x + 2 y = 10$

Paso 1

Resuelve $x$ en $2 x - 6 y = 7$ .

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Paso 1.1

Suma $6 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 7 + 6 y$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 x = 7 + 6 y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $2 x = 7 + 6 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{6 y}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{6 y}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{6 y}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + \frac{6 y}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + \frac{6 y}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 y$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (3 y)}{2}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (3 y)}{2 (1)}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{7}{2} + \frac{2 (3 y)}{2 \cdot 1}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7}{2} + \frac{3 y}{1}$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 1.2.3.1.2.4

Divide $3 y$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$5 x + 2 y = 10$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{7}{2} + 3 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x + 2 y = 10$ por $\frac{7}{2} + 3 y$ .

$5 (\frac{7}{2} + 3 y) + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $5 (\frac{7}{2} + 3 y) + 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (\frac{7}{2}) + 5 (3 y) + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $5 (\frac{7}{2})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $5$ y $\frac{7}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{2} + 5 (3 y) + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35}{2} + 5 (3 y) + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$\frac{35}{2} + 5 (3 y) + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{35}{2} + 15 y + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$\frac{35}{2} + 15 y + 2 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 2.2.1.2

Suma $15 y$ y $2 y$ .

$\frac{35}{2} + 17 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$\frac{35}{2} + 17 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$\frac{35}{2} + 17 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$\frac{35}{2} + 17 y = 10$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{35}{2} + 17 y = 10$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{35}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$17 y = 10 - \frac{35}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.2

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$17 y = 10 \cdot \frac{2}{2} - \frac{35}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.3

Combina $10$ y $\frac{2}{2}$ .

$17 y = \frac{10 \cdot 2}{2} - \frac{35}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$17 y = \frac{10 \cdot 2 - 35}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$17 y = \frac{20 - 35}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.5.2

Resta $35$ de $20$ .

$17 y = \frac{- 15}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$17 y = \frac{- 15}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$17 y = - \frac{15}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$17 y = - \frac{15}{2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2

Divide cada término en $17 y = - \frac{15}{2}$ por $17$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $17 y = - \frac{15}{2}$ por $17$ .

$\frac{17 y}{17} = \frac{- \frac{15}{2}}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{17 y}{17} = \frac{- \frac{15}{2}}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = \frac{- \frac{15}{2}}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{17}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{17}$ por $\frac{15}{2}$ .

$y = - \frac{15}{17 \cdot 2}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 3.2.3.2.2

Multiplica $17$ por $2$ .

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + 3 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{15}{34}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{7}{2} + 3 y$ por $- \frac{15}{34}$ .

$x = \frac{7}{2} + 3 (- \frac{15}{34})$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{7}{2} + 3 (- \frac{15}{34})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $3 (- \frac{15}{34})$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = \frac{7}{2} - 3 (\frac{15}{34})$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{15}{34}$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 15}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $15$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{7}{2} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $\frac{7}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{17}{17} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $34$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{17}{17}$ .

$x = \frac{7 \cdot 17}{2 \cdot 17} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $17$ .

$x = \frac{7 \cdot 17}{34} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{7 \cdot 17}{34} - \frac{45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 \cdot 17 - 45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $7$ por $17$ .

$x = \frac{119 - 45}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.5.2

Resta $45$ de $119$ .

$x = \frac{74}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{74}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $74$ y $34$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $74$ .

$x = \frac{2 (37)}{34}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$x = \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 17}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 17}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 4.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

$x = \frac{37}{17}$

$y = - \frac{15}{34}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{37}{17}, - \frac{15}{34})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{37}{17}, - \frac{15}{34})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{37}{17}, y = - \frac{15}{34}$

Paso 7